continuidad y funciones de variables complejas

CONTINUIDAD

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio(sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una tal que
si entonces
Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.

Funciones de variable compleja

Definición

Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.
Cuando la variable es un número complejo, al función se llama función de variable compleja.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

Gráfica

Dada una función de variable compleja, w = f(z), no es posible representar, a la manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z) correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con la función.
Esta forma de representar la función se puede entender la función (f) como la transformación que se produce al aplicar a los puntos de origen la función.

Funciones

Sea la función w = Az, en el que A es una constante compleja y z una variable compleja.
Expresando A y z en la forma exponencial:
A = a eia z = r eib
Entonces w = ar ei(a + b)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que la distancia de los puntos z al origen de coordenadas ha sido aumentada o disminuido por el factor a y girados al rededor del origen un ángulo a.
Sea la función w = z + A.
Expresando A y z en forma binaria:
A = a1 + ia2z = z1 + iz2
Entonces w = (a1 + z1) + i(a2 + z2)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que los puntos z han sido desplazados según el vector A.
Sea la función w = 1/z .
Cuando aplicamos esta función a la recta x = c obtenemos la circunferencia
(u - 1/2c)2 + v2 = (1/2c)2.
Cuando aplicamos esta función a la recta y = c obtenemos la circunferencia (v - 1/2c)2 + u2 = (1/2c)2.
Si aplicamos la función w = 1/z a las circunferencias anteriores obtendremos las rectas correspondientes.